1 第一部分 测度论基础 #
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id1[第一部分 测度论基础]
id1-1[集合与σ-代数]
id1-1-1[集合论基础]
id1-2[集合的基本运算]
id1-3[集合的极限与上下极限]
id1-4[集合的示性函数]
id1-4-1[σ-代数]
id1-5[σ代数的定义与性质]
id1-6[生成σ代数]
id1-7[Borel σ代数]
id1-8[乘积σ代数]
id1-8-1[单调类定理]
id1-9[π-λ定理]
id1-10[单调类定理]
id1-11[应用举例]
id1-12[测度理论]
id1-12-1[测度的定义与性质]
id1-13[测度的公理化定义]
id1-14[测度的基本性质]
id1-15[有限测度与σ有限测度]
id1-15-1[外测度与Carathéodory扩张定理]
id1-16[外测度的构造]
id1-17[Carathéodory条件]
id1-18[测度扩张定理]
id1-18-1[重要的测度实例]
id1-19[Lebesgue测度]
id1-20[计数测度]
id1-21[Dirac测度]
id1-22[乘积测度]
id1-23[可测函数]
id1-23-1[可测函数的定义]
id1-24[可测函数的等价定义]
id1-25[简单函数及其逼近]
id1-25-1[可测函数的运算]
id1-26[可测函数的代数运算]
id1-27[可测函数的极限运算]
id1-28[可测函数的复合]
id1-28-1[可测函数序列]
id1-29[几乎处处收敛]
id1-30[依测度收敛]
id1-31[Egorov定理]
id1-32[Lusin定理]
集合与σ-代数
集合论基础
集合的基本运算
集合的极限与上下极限
集合的示性函数
σ-代数
σ代数的定义与性质
生成σ代数
Borel σ代数
乘积σ代数
单调类定理
π-λ定理
单调类定理
应用举例
测度理论
测度的定义与性质
测度的公理化定义
测度的基本性质
有限测度与σ有限测度
外测度与Carathéodory扩张定理
外测度的构造
Carathéodory条件
测度扩张定理
重要的测度实例
Lebesgue测度
计数测度
Dirac测度
乘积测度
可测函数
可测函数的定义
可测函数的等价定义
简单函数及其逼近
可测函数的运算
可测函数的代数运算
可测函数的极限运算
可测函数的复合
可测函数序列
几乎处处收敛
依测度收敛
Egorov定理
Lusin定理
2 第二部分 积分理论 #
Lebesgue积分
积分的定义
简单函数的积分
非负可测函数的积分
般可测函数的积分
积分的基本性质
线性性
单调性
积分的比较定理
极限定理
单调收敛定理
Fatou引理
控制收敛定理
积分空间
L^p空间
L^p空间的定义
Hölder不等式
Minkowski不等式
完备性与可分性
L^p空间的完备性
L^p空间的可分性
稠密子集
收敛模式
几乎处处收敛
依测度收敛
L^p收敛
各种收敛之间的关系
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id2[第二部分 积分理论]
id2-1[Lebesgue积分]
id2-1-1[积分的定义]
id2-2[简单函数的积分]
id2-3[非负可测函数的积分]
id2-4[般可测函数的积分]
id2-4-1[积分的基本性质]
id2-5[线性性]
id2-6[单调性]
id2-7[积分的比较定理]
id2-7-1[极限定理]
id2-8[单调收敛定理]
id2-9[Fatou引理]
id2-10[控制收敛定理]
id2-11[积分空间]
id2-11-1[L^p空间]
id2-12[L^p空间的定义]
id2-13[Hölder不等式]
id2-14[Minkowski不等式]
id2-14-1[完备性与可分性]
id2-15[L^p空间的完备性]
id2-16[L^p空间的可分性]
id2-17[稠密子集]
id2-17-1[收敛模式]
id2-18[几乎处处收敛]
id2-19[依测度收敛]
id2-20[L^p收敛]
id2-21[各种收敛之间的关系]
3 第三部分 概率论基础 #
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id3[第三部分 概率论基础]
id3-1[概率空间]
id3-1-1[概率测度]
id3-2[概率测度的定义]
id3-3[概率空间的基本性质]
id3-4[条件概率]
id3-4-1[独立性]
id3-5[事件的独立性]
id3-6[σ代数的独立性]
id3-7[独立性的判定]
id3-7-1[-1律]
id3-8[Borel-Cantelli引理]
id3-9[Kolmogorov 0-1律]
id3-10[Hewitt-Savage 0-1律]
id3-11[随机变量]
id3-11-1[随机变量的定义]
id3-12[随机变量与可测函数]
id3-13[随机变量的分布]
id3-14[分布函数]
id3-14-1[随机变量的收敛]
id3-15[几乎必然收敛]
id3-16[依概率收敛]
id3-17[依分布收敛]
id3-18[L^p收敛]
id3-18-1[特征函数]
id3-19[特征函数的定义与性质]
id3-20[逆转公式]
id3-21[唯一性定理]
id3-22[连续性定理]
id3-23[数学期望]
id3-23-1[期望的定义]
id3-24[期望的测度论定义]
id3-25[期望的性质]
id3-26[矩与中心矩]
id3-26-1[条件期望]
id3-27[条件期望的定义]
id3-28[条件期望的性质]
id3-29[条件期望的平滑性]
id3-29-1[不等式]
id3-30[Markov不等式]
id3-31[Chebyshev不等式]
id3-32[Jensen不等式]
id3-33[其他重要不等式]
概率空间
概率测度
概率测度的定义
概率空间的基本性质
条件概率
独立性
事件的独立性
σ代数的独立性
独立性的判定
-1律
Borel-Cantelli引理
Kolmogorov 0-1律
Hewitt-Savage 0-1律
随机变量
随机变量的定义
随机变量与可测函数
随机变量的分布
分布函数
随机变量的收敛
几乎必然收敛
依概率收敛
依分布收敛
L^p收敛
特征函数
特征函数的定义与性质
逆转公式
唯一性定理
连续性定理
数学期望
期望的定义
期望的测度论定义
期望的性质
矩与中心矩
条件期望
条件期望的定义
条件期望的性质
条件期望的平滑性
不等式
Markov不等式
Chebyshev不等式
Jensen不等式
其他重要不等式
4 第四部分 极限理论 #
大数定律
弱大数定律
弱大数定律的表述
弱大数定律的证明
应用举例
强大数定律
Kolmogorov强大数定律
其他形式的强大数定律
应用与推广
中心极限定理
独立同分布情形
Lindeberg-Lévy定理
证明方法
应用举例
非独立同分布情形
Lindeberg条件
Lyapunov条件
其他推广形式
鞅论初步
鞅的基本概念
鞅的定义
上鞅与下鞅
停时
鞅收敛定理
上穿不等式
鞅收敛定理
应用举例
鞅不等式
Doob极大不等式
Doob L^p不等式
其他重要不等式
mindmap
id4[第四部分 极限理论]
id4-1[大数定律]
id4-1-1[弱大数定律]
id4-2[弱大数定律的表述]
id4-3[弱大数定律的证明]
id4-4[应用举例]
id4-4-1[强大数定律]
id4-5[Kolmogorov强大数定律]
id4-6[其他形式的强大数定律]
id4-7[应用与推广]
id4-8[中心极限定理]
id4-8-1[独立同分布情形]
id4-9[Lindeberg-Lévy定理]
id4-10[证明方法]
id4-11[应用举例]
id4-11-1[非独立同分布情形]
id4-12[Lindeberg条件]
id4-13[Lyapunov条件]
id4-14[其他推广形式]
id4-15[鞅论初步]
id4-15-1[鞅的基本概念]
id4-16[鞅的定义]
id4-17[上鞅与下鞅]
id4-18[停时]
id4-18-1[鞅收敛定理]
id4-19[上穿不等式]
id4-20[鞅收敛定理]
id4-21[应用举例]
id4-21-1[鞅不等式]
id4-22[Doob极大不等式]
id4-23[Doob L^p不等式]
id4-24[其他重要不等式]
5 第五部分 应用与拓展 #
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id5[第五部分 应用与拓展]
id5-1[随机过程基础]
id5-1-1[随机过程的基本概念]
id5-2[随机过程的定义]
id5-3[有限维分布]
id5-4[Kolmogorov存在性定理]
id5-4-1[马尔可夫过程]
id5-5[马尔可夫性]
id5-6[转移概率]
id5-7[强马尔可夫性]
id5-7-1[布朗运动]
id5-8[布朗运动的定义]
id5-9[布朗运动的性质]
id5-10[布朗运动的构造]
id5-11[现代概率论专题]
id5-11-1[条件期望的进一步讨论]
id5-12[正则条件概率]
id5-13[条件独立性]
id5-14[滤波理论初步]
id5-14-1[大偏差原理]
id5-15[Cramér定理]
id5-16[大偏差原理的基本思想]
id5-17[应用举例]
id5-17-1[随机分析初步]
id5-18[Itô积分简介]
id5-19[Itô公式]
id5-20[随机微分方程]